Як вирішувати арифметичну прогресію?
Арифметична прогресія — це одна з базових тем у математиці, яка зустрічається як у шкільній програмі. Цікаво, що актуальна вона й у реальному житті. До прикладу, якщо ви щомісяця відкладаєте на заощадження по 500 гривень, то сума накопичень зростає за принципом арифметичної прогресії.
Здається, що арифметична прогресія — це щось складне та незрозуміле? Проте це зовсім не так! Насправді прогресія має чітку та логічну будову, тож розібратись у ній не так важко, як може здаватися.
У цій статті ми простою мовою пояснимо, що це таке, як нею користуватись і як правильно розв’язувати задачі.
Що таке арифметична прогресія?
Арифметична прогресія — це послідовність чисел, де кожне наступне число утворюється шляхом додавання однієї й тієї ж кількості до попереднього числа. До прикладу, 2, 5, 8, 11, 14 — тут кожне число збільшується на 3. Це і є різниця, яка завжди однакова.
Арифметична прогресія може продовжуватися нескінченно, додаючи постійну різницю до кожного нового числа. До прикладу, після 14 йде 17, потім 20, 23 і так далі. Така послідовність завжди має чітку структуру, де ви точно знаєте, яке число йде далі, якщо знаєте перше і різницю.
Це дуже зручний інструмент у математиці. Адже дозволяє передбачити будь-який елемент прогресії, навіть якщо він знаходиться на великій відстані від початкового.
Формула арифметичної прогресії
Формула арифметичної прогресії допомагає знайти будь-яке число в послідовності, якщо ви знаєте перше число та різницю. Щоб дізнатися, яке число буде на певній позиції, використовуємо таку формулу:
aₙ — це число на певній позиції,
a₁ — перше число,
n — номер позиції, яку шукаємо,
d — різниця між числами.
Ця формула дозволяє легко знайти потрібне число, навіть якщо воно знаходиться далеко в середині прогресії.
Властивості арифметичної прогресії
Ось кілька основних властивостей арифметичної прогресії, які допоможуть краще зрозуміти її структуру та особливості:
Різниця постійна — між будь-якими двома сусідніми числами завжди однакова.
Числа збільшуються або зменшуються — якщо різниця додатна, числа зростають; якщо від'ємна — зменшуються.
Сума двох крайніх чисел — сума першого та останнього числа прогресії завжди дорівнює сумі другого та передостаннього і так далі.
Середнє число — середина прогресії (число, яке знаходиться між першим та останнім) буде середнім значенням усіх чисел.
Числа можна передбачити — знаючи перше число та різницю, можна легко знайти будь-яке інше число в послідовності.
Приклади розв’язування арифметичної прогресії
Пропонуємо вивчити приклади — вони показують, як легко можна знаходити числа та суми в арифметичних прогресіях.
Задача 1: потрібно знайти 6-е число в прогресії, де перше число 3,а різниця між числами 4.
Рішення: Використовуємо формулу:
a₆ = 3 + (6 - 1) · 4 = 3 + 20 = 23.
Отже, 6-е число прогресії — 23.
Застосування арифметичної прогресії
Арифметична прогресія зустрічається в багатьох реальних ситуаціях, де є постійна зміна на одну й ту ж кількість. Ось, декілька прикладів:
1. Відкладання грошей: якщо ви вирішили відкладати певну суму кожного місяця (до прикладу, 500 грн), то ваші заощадження будуть зростати згідно з арифметичною прогресією. Після першого місяця буде 500 грн, після другого — 1000 грн, після третього — 1500 грн і так далі.
2. Шкільні уроки: якщо вчитель збільшує кількість завдань на контрольну роботу з кожним тижнем (до прикладу, додає по 3 завдання кожного разу), то це також буде арифметична прогресія.
Якщо ви хочете й далі розбиратися у темі арифметичної прогресії та покращувати скили у математиці, приєднуйтеся до навчання у Fasted!
